Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 10^+}\left(x \left(x - 10\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 10^+}\left(x^{2} - 100\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{x^{2} - 10 x}{x^{2} - 100}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{x \left(x - 10\right)}{x^{2} - 100}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x - 10\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 100\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{2 x - 10}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{x}{10} - \frac{1}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 10^+}\left(\frac{x}{10} - \frac{1}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)