Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de -2+x
-
Expresiones idénticas
- ((dos + cinco *x)/(- tres + cinco *x))^(uno + dos *x)
- ((2 más 5 multiplicar por x) dividir por ( menos 3 más 5 multiplicar por x)) en el grado (1 más 2 multiplicar por x)
- ((dos más cinco multiplicar por x) dividir por ( menos tres más cinco multiplicar por x)) en el grado (uno más dos multiplicar por x)
- ((2+5*x)/(-3+5*x))(1+2*x)
- 2+5*x/-3+5*x1+2*x
- ((2+5x)/(-3+5x))^(1+2x)
- ((2+5x)/(-3+5x))(1+2x)
- 2+5x/-3+5x1+2x
- 2+5x/-3+5x^1+2x
- ((2+5*x) dividir por (-3+5*x))^(1+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+5*x)/(-3-5*x))^(1+2*x)
- ((2+5*x)/(-3+5*x))^(1-2*x)
- ((2+5*x)/(3+5*x))^(1+2*x)
- ((2-5*x)/(-3+5*x))^(1+2*x)
Límite de la función ((2+5*x)/(-3+5*x))^(1+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 2*x
/2 + 5*x \
lim |--------|
x->oo\-3 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
Limit(((2 + 5*x)/(-3 + 5*x))^(1 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x - 3\right) + 5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 3}{5 x - 3} + \frac{5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x - 3}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{11}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x - 3\right) + 5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 3}{5 x - 3} + \frac{5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x - 3}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{11}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 2}{5 x - 3}\right)^{2 x + 1} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico