Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-sin(x))/cos(x)^2
-
Límite de (1+sin(sqrt(x))^2)^(1/(2*x))
-
Límite de (1+2*x)^(x/4)
-
Límite de (1+2*x)^(x/5)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +e^((dos +x)/(- uno + dos *x^ dos)))*sin((dos +pi*x)/(- siete + seis *x))/asin(uno /(uno + ocho *x))
- ( menos 1 más e en el grado ((2 más x) dividir por ( menos 1 más 2 multiplicar por x al cuadrado ))) multiplicar por seno de ((2 más número pi multiplicar por x) dividir por ( menos 7 más 6 multiplicar por x)) dividir por ar coseno de eno de (1 dividir por (1 más 8 multiplicar por x))
- ( menos uno más e en el grado ((dos más x) dividir por ( menos uno más dos multiplicar por x en el grado dos))) multiplicar por seno de ((dos más número pi multiplicar por x) dividir por ( menos siete más seis multiplicar por x)) dividir por ar coseno de eno de (uno dividir por (uno más ocho multiplicar por x))
- (-1+e((2+x)/(-1+2*x2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- -1+e2+x/-1+2*x2*sin2+pi*x/-7+6*x/asin1/1+8*x
- (-1+e^((2+x)/(-1+2*x²)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e en el grado ((2+x)/(-1+2*x en el grado 2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2+x)/(-1+2x^2)))sin((2+pix)/(-7+6x))/asin(1/(1+8x))
- (-1+e((2+x)/(-1+2x2)))sin((2+pix)/(-7+6x))/asin(1/(1+8x))
- -1+e2+x/-1+2x2sin2+pix/-7+6x/asin1/1+8x
- -1+e^2+x/-1+2x^2sin2+pix/-7+6x/asin1/1+8x
- (-1+e^((2+x) dividir por (-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x) dividir por (-7+6*x)) dividir por asin(1 dividir por (1+8*x))
-
Expresiones semejantes
- (-1+e^((2+x)/(1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1-8*x))
- (1+e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2-pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2+x)/(-1-2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1-e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7-6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2-x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
- (-1+e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/arcsin(1/(1+8*x))
Límite de la función (-1+e^((2+x)/(-1+2*x^2)))*sin((2+pi*x)/(-7+6*x))/asin(1/(1+8*x))
Solución
Ha introducido
[src]
// 2 + x \ \
|| ---------| |
|| 2| |
|| -1 + 2*x | /2 + pi*x\|
|\-1 + E /*sin|--------||
| \-7 + 6*x/|
lim |-------------------------------|
x->oo| / 1 \ |
| asin|-------| |
\ \1 + 8*x/ /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right)$$
Limit(((-1 + E^((2 + x)/(-1 + 2*x^2)))*sin((2 + pi*x)/(-7 + 6*x)))/asin(1/(1 + 8*x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\left(\frac{\pi}{6 x - 7} - \frac{6 \left(\pi x + 2\right)}{\left(6 x - 7\right)^{2}}\right) \cos{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{8 \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\sqrt{1 - \frac{1}{\left(8 x + 1\right)^{2}}} \left(8 x + 1\right)^{2} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) \left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right)^{2} e^{- \frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}}}{- \frac{4 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x^{2} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{6 \pi x \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{8 \sin{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{64 x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 16 x \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{6 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 7 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}}{\frac{4 x^{2}}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} + \frac{8 x}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} - \frac{1}{2 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 2 x^{2} - e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{6 \pi x \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{8 \sin{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{64 x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 16 x \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{6 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 7 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}}{\frac{4 x^{2}}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} + \frac{8 x}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} - \frac{1}{2 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 2 x^{2} - e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 1}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\frac{\left(\frac{\pi}{6 x - 7} - \frac{6 \left(\pi x + 2\right)}{\left(6 x - 7\right)^{2}}\right) \cos{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{8 \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\sqrt{1 - \frac{1}{\left(8 x + 1\right)^{2}}} \left(8 x + 1\right)^{2} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) \left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right)^{2} e^{- \frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}}}{- \frac{4 x \left(x + 2\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x^{2} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{6 \pi x \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{8 \sin{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{64 x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 16 x \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{6 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 7 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}}{\frac{4 x^{2}}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} + \frac{8 x}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} - \frac{1}{2 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 2 x^{2} - e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{6 \pi x \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{8 \sin{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{64 x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 16 x \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + \sqrt{1 - \frac{1}{64 x^{2} + 16 x + 1}} \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} - \frac{12 \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{36 x^{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 84 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} + 49 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{6 x - 7} + \frac{2}{6 x - 7} \right)}}{6 x \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)} - 7 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}}{\frac{4 x^{2}}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} + \frac{8 x}{4 x^{4} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 8 x^{4} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 4 x^{4} - 4 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 8 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} + e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 1} - \frac{1}{2 x^{2} e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} - 4 x^{2} e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} + 2 x^{2} - e^{\frac{2 x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{4}{2 x^{2} - 1}} + 2 e^{\frac{x}{2 x^{2} - 1}} e^{\frac{2}{2 x^{2} - 1}} - 1}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{2 \left(-1 + e^{2}\right) \sin{\left(\frac{2}{7} \right)}}{\pi e^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{2 \left(-1 + e^{2}\right) \sin{\left(\frac{2}{7} \right)}}{\pi e^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{- \sin{\left(2 \right)} + e^{3} \sin{\left(2 \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{9} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{- \sin{\left(2 \right)} + e^{3} \sin{\left(2 \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{9} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{2 \left(-1 + e^{2}\right) \sin{\left(\frac{2}{7} \right)}}{\pi e^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{2 \left(-1 + e^{2}\right) \sin{\left(\frac{2}{7} \right)}}{\pi e^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{- \sin{\left(2 \right)} + e^{3} \sin{\left(2 \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{9} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = \frac{- \sin{\left(2 \right)} + e^{3} \sin{\left(2 \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{9} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{\frac{x + 2}{2 x^{2} - 1}} - 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x + 2}{6 x - 7} \right)}}{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{8 x + 1} \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→-oo