Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (- dos + nueve *x)/(dieciséis + doce *x)
- ( menos 2 más 9 multiplicar por x) dividir por (16 más 12 multiplicar por x)
- ( menos dos más nueve multiplicar por x) dividir por (dieciséis más doce multiplicar por x)
- (-2+9x)/(16+12x)
- -2+9x/16+12x
- (-2+9*x) dividir por (16+12*x)
-
Expresiones semejantes
- (2+9*x)/(16+12*x)
- (-2-9*x)/(16+12*x)
- (-2+9*x)/(16-12*x)
Límite de la función (-2+9*x)/(16+12*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -2 + 9*x\ lim |---------| x->oo\16 + 12*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right)$$
Limit((-2 + 9*x)/(16 + 12*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{2}{x}}{12 + \frac{16}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{2}{x}}{12 + \frac{16}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 - 2 u}{16 u + 12}\right)$$
=
$$\frac{9 - 0}{0 \cdot 16 + 12} = \frac{3}{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{3}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{2}{x}}{12 + \frac{16}{x}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 - \frac{2}{x}}{12 + \frac{16}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 - 2 u}{16 u + 12}\right)$$
=
$$\frac{9 - 0}{0 \cdot 16 + 12} = \frac{3}{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{3}{4}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x}{4} - \frac{1}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{4 \left(3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{9 x}{4} - \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{4}$$
=
$$\frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x}{4} - \frac{1}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{4 \left(3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{9 x}{4} - \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{4}$$
=
$$\frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{3}{4}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = - \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = - \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = - \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = - \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x - 2}{12 x + 16}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→-oo