Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 2 x + 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{3} + x^{2} - 26\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{3} + 6\right)}{- 3 x^{3} + \left(x^{2} - 26\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 2 x + 6}{- 3 x^{3} + x^{2} - 26}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 2 x + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{3} + x^{2} - 26\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 2}{- 9 x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 9 x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{2 - 18 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 6 x}{\frac{d}{d x} \left(2 - 18 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{3}$$
=
$$- \frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)