Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}\right)}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)