Sr Examen
Límite de la función x^2*sqrt(1-x^2)/(1-sqrt(1-x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________\
| 2 / 2 |
| x *\/ 1 - x |
lim |---------------|
x->0+| ________|
| / 2 |
\1 - \/ 1 - x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
Limit((x^2*sqrt(1 - x^2))/(1 - sqrt(1 - x^2)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}\right)}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \sqrt{1 - x^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{2}} \left(- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}\right)}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}}}{x}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ________\
| 2 / 2 |
| x *\/ 1 - x |
lim |---------------|
x->0+| ________|
| / 2 |
\1 - \/ 1 - x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
2
$$2$$
= 2
/ ________\
| 2 / 2 |
| x *\/ 1 - x |
lim |---------------|
x->0-| ________|
| / 2 |
\1 - \/ 1 - x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
2
$$2$$
= 2
= 2
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo