Sr Examen
Límite de la función (3-6*x^2)*(3+8*x)/(x*(9+4*x)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
// 2\ \
|\3 - 6*x /*(3 + 8*x)|
lim |--------------------|
x->oo| 2 |
\ x*(9 + 4*x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right)$$
Limit(((3 - 6*x^2)*(3 + 8*x))/((x*(9 + 4*x)^2)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(1 - 2 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(4 x + 9\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(1 - 2 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{3 \left(1 - 2 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x}}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 9\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 96 x - 18 - \frac{9}{x^{2}}}{32 x + 72}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 96 x - 18 - \frac{9}{x^{2}}}{32 x + 72}\right)$$
=
$$-3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(1 - 2 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(4 x + 9\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(1 - 2 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{3 \left(1 - 2 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x}}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 9\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 96 x - 18 - \frac{9}{x^{2}}}{32 x + 72}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 96 x - 18 - \frac{9}{x^{2}}}{32 x + 72}\right)$$
=
$$-3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = -3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = - \frac{33}{169}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = - \frac{33}{169}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = - \frac{33}{169}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = - \frac{33}{169}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 - 6 x^{2}\right) \left(8 x + 3\right)}{x \left(4 x + 9\right)^{2}}\right) = -3$$
Más detalles con x→-oo