Sr Examen
Límite de la función (1+3^x+3*x^4)/((1+2*x)^3*(3+3*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x 4 \
| 1 + 3 + 3*x |
lim |--------------------|
x->oo| 3 |
\(1 + 2*x) *(3 + 3*x)/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right)$$
Limit((1 + 3^x + 3*x^4)/(((1 + 2*x)^3*(3 + 3*x))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} + 3 x^{4} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(24 x^{4} + 60 x^{3} + 54 x^{2} + 21 x + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} + 3 x^{4} + 1}{3 \left(x + 1\right) \left(2 x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3^{x} + 3 x^{4} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(24 x^{4} + 60 x^{3} + 54 x^{2} + 21 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)} + 12 x^{3}}{96 x^{3} + 180 x^{2} + 108 x + 21}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)} + 12 x^{3}}{96 x^{3} + 180 x^{2} + 108 x + 21}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3^{x} + 3 x^{4} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(24 x^{4} + 60 x^{3} + 54 x^{2} + 21 x + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} + 3 x^{4} + 1}{3 \left(x + 1\right) \left(2 x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3^{x} + 3 x^{4} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(24 x^{4} + 60 x^{3} + 54 x^{2} + 21 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)} + 12 x^{3}}{96 x^{3} + 180 x^{2} + 108 x + 21}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)} + 12 x^{3}}{96 x^{3} + 180 x^{2} + 108 x + 21}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{7}{162}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{7}{162}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{7}{162}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{7}{162}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} + \left(3^{x} + 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{3} \left(3 x + 3\right)}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→-oo