Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Límite de (-1+(1+x)*(1+2*x)*(1+3*x))/x
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/x)^(tres - dos *x)
- ((2 más x) dividir por x) en el grado (3 menos 2 multiplicar por x)
- ((dos más x) dividir por x) en el grado (tres menos dos multiplicar por x)
- ((2+x)/x)(3-2*x)
- 2+x/x3-2*x
- ((2+x)/x)^(3-2x)
- ((2+x)/x)(3-2x)
- 2+x/x3-2x
- 2+x/x^3-2x
- ((2+x) dividir por x)^(3-2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2-x)/x)^(3-2*x)
- ((2+x)/x)^(3+2*x)
Límite de la función ((2+x)/x)^(3-2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 - 2*x
/2 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
Limit(((2 + x)/x)^(3 - 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 - 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3 - 2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 - 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = e^{-4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = 3$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = 3$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = 3$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = 3$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x}\right)^{3 - 2 x} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico