Límite de la función 2*3^(-x)*x^x

Tenemos la indeterminación de tipo

oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{x}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 3^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cdot 3^{- x} x^{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \cdot 3^{- x} x^{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x^{x}}{\frac{d}{d x} 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\log{\left(3 \right)}}}{\frac{d}{d x} 3^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(\frac{2 x^{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{4 x^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{2 x^{x}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{2 x^{x}}{x \log{\left(3 \right)}}\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(\frac{2 x^{x} \log{\left(x \right)}^{2}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{4 x^{x} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{2 x^{x}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{2 x^{x}}{x \log{\left(3 \right)}}\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)