Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Límite de (-1+(1+x)*(1+2*x)*(1+3*x))/x
-
Expresiones idénticas
- ((- dos +x)/(tres +x))^(x/ dos)
- (( menos 2 más x) dividir por (3 más x)) en el grado (x dividir por 2)
- (( menos dos más x) dividir por (tres más x)) en el grado (x dividir por dos)
- ((-2+x)/(3+x))(x/2)
- -2+x/3+xx/2
- -2+x/3+x^x/2
- ((-2+x) dividir por (3+x))^(x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((-2+x)/(3-x))^(x/2)
- ((-2-x)/(3+x))^(x/2)
- ((2+x)/(3+x))^(x/2)
Límite de la función ((-2+x)/(3+x))^(x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
2
/-2 + x\
lim |------|
x->oo\3 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
Limit(((-2 + x)/(3 + x))^(x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 5}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2} - \frac{3}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{5}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{5}{2}} = e^{- \frac{5}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{5}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 5}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2} - \frac{3}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{5 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{5}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{5}{2}} = e^{- \frac{5}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 3}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{- \frac{5}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
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