Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Límite de -cos(x)^3+x*tan(3*x)/cos(x)
-
Límite de (x+3^x)^(1/x)
- Límite de 0^x
-
Expresiones idénticas
- x^ tres *(tres +x)/(- doce +x)^ dos
- x al cubo multiplicar por (3 más x) dividir por ( menos 12 más x) al cuadrado
- x en el grado tres multiplicar por (tres más x) dividir por ( menos doce más x) en el grado dos
- x3*(3+x)/(-12+x)2
- x3*3+x/-12+x2
- x³*(3+x)/(-12+x)²
- x en el grado 3*(3+x)/(-12+x) en el grado 2
- x^3(3+x)/(-12+x)^2
- x3(3+x)/(-12+x)2
- x33+x/-12+x2
- x^33+x/-12+x^2
- x^3*(3+x) dividir por (-12+x)^2
-
Expresiones semejantes
- x^3*(3+x)/(12+x)^2
- x^3*(3-x)/(-12+x)^2
- x^3*(3+x)/(-12-x)^2
Límite de la función x^3*(3+x)/(-12+x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 \
|x *(3 + x)|
lim |----------|
x->oo| 2|
\(-12 + x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
Limit((x^3*(3 + x))/(-12 + x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{24}{x^{3}} + \frac{144}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{24}{x^{3}} + \frac{144}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u + 1}{144 u^{4} - 24 u^{3} + u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 3 + 1}{0^{2} - 24 \cdot 0^{3} + 144 \cdot 0^{4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{24}{x^{3}} + \frac{144}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{24}{x^{3}} + \frac{144}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u + 1}{144 u^{4} - 24 u^{3} + u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 3 + 1}{0^{2} - 24 \cdot 0^{3} + 144 \cdot 0^{4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x - 12\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3} \left(x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 9 x^{2}}{2 x - 24}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 9 x^{2}}{2 x - 24}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(x + 3\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x - 12\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{3} \left(x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 12\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 9 x^{2}}{2 x - 24}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} + 9 x^{2}}{2 x - 24}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \frac{4}{121}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \frac{4}{121}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \frac{4}{121}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \frac{4}{121}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} \left(x + 3\right)}{\left(x - 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo