Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (e^(dos *x)-e^(- dos *x))/x
- (e en el grado (2 multiplicar por x) menos e en el grado ( menos 2 multiplicar por x)) dividir por x
- (e en el grado (dos multiplicar por x) menos e en el grado ( menos dos multiplicar por x)) dividir por x
- (e(2*x)-e(-2*x))/x
- e2*x-e-2*x/x
- (e^(2x)-e^(-2x))/x
- (e(2x)-e(-2x))/x
- e2x-e-2x/x
- e^2x-e^-2x/x
- (e^(2*x)-e^(-2*x)) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (e^(2*x)+e^(-2*x))/x
- (e^(2*x)-e^(2*x))/x
Límite de la función (e^(2*x)-e^(-2*x))/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2*x -2*x\
|E - E |
lim |------------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right)$$
Limit((E^(2*x) - E^(-2*x))/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{4 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{2 x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{4 x} - 1\right) e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{4 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 e^{4 x}}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{4 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{2 x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{4 x} - 1\right) e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{4 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 e^{4 x}}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2*x -2*x\
|E - E |
lim |------------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right)$$
4
$$4$$
= 4
/ 2*x -2*x\
|E - E |
lim |------------|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right)$$
4
$$4$$
= 4
= 4
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = 4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{4}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{4}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{4}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \frac{-1 + e^{4}}{e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo