Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 e^{- 2 x} x^{2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)