Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x - 5\right)^{3} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 5\right)^{2} - 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{\left(x - 5\right)^{2} - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 5\right)^{3}}{\frac{d}{d x} \left(\left(x - 5\right)^{2} - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(x - 5\right)^{2}}{2 x - 10}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 \left(x - 5\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(2 x - 10\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x - 15\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x - 15\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)