Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de (-3+sqrt(5+x))/(-4+x)
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- ((- dos + tres *x)/(cuatro + tres *x))^x
- (( menos 2 más 3 multiplicar por x) dividir por (4 más 3 multiplicar por x)) en el grado x
- (( menos dos más tres multiplicar por x) dividir por (cuatro más tres multiplicar por x)) en el grado x
- ((-2+3*x)/(4+3*x))x
- -2+3*x/4+3*xx
- ((-2+3x)/(4+3x))^x
- ((-2+3x)/(4+3x))x
- -2+3x/4+3xx
- -2+3x/4+3x^x
- ((-2+3*x) dividir por (4+3*x))^x
-
Expresiones semejantes
- ((2+3*x)/(4+3*x))^x
- ((-2-3*x)/(4+3*x))^x
- ((-2+3*x)/(4-3*x))^x
Límite de la función ((-2+3*x)/(4+3*x))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/-2 + 3*x\
lim |--------|
x->oo\4 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x}$$
Limit(((-2 + 3*x)/(4 + 3*x))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 6}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 4}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{4}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 6}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 4}\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 4}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{4}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = \frac{1}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 2}{3 x + 4}\right)^{x} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico