Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 - x\right)^{2} + \left(x + 3\right)^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(3 - x\right)^{2} - \left(x + 3\right)^{2}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - x\right)^{2} + \left(x + 3\right)^{2}}{\left(3 - x\right)^{2} - \left(x + 3\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\left(3 - x\right)^{2} + \left(x + 3\right)^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\left(3 - x\right)^{2} - \left(x + 3\right)^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{3}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)