Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + dos *x)/(cinco + dos *x))^(siete *x)
- ((1 más 2 multiplicar por x) dividir por (5 más 2 multiplicar por x)) en el grado (7 multiplicar por x)
- ((uno más dos multiplicar por x) dividir por (cinco más dos multiplicar por x)) en el grado (siete multiplicar por x)
- ((1+2*x)/(5+2*x))(7*x)
- 1+2*x/5+2*x7*x
- ((1+2x)/(5+2x))^(7x)
- ((1+2x)/(5+2x))(7x)
- 1+2x/5+2x7x
- 1+2x/5+2x^7x
- ((1+2*x) dividir por (5+2*x))^(7*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+2*x)/(5-2*x))^(7*x)
- ((1-2*x)/(5+2*x))^(7*x)
Límite de la función ((1+2*x)/(5+2*x))^(7*x)
Solución
Ha introducido
[src]
7*x
/1 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\5 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
Limit(((1 + 2*x)/(5 + 2*x))^(7*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 4}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u - \frac{35}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{35}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{35}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-14}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-14} = e^{-14}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = e^{-14}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 4}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{7 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u - \frac{35}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{35}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{35}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 14 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-14}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-14} = e^{-14}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = e^{-14}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = e^{-14}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = e^{-14}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = \frac{2187}{823543}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{7 x} = e^{-14}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico