Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- (x/(dos +x))^(x^ dos /(uno + dos *x))
- (x dividir por (2 más x)) en el grado (x al cuadrado dividir por (1 más 2 multiplicar por x))
- (x dividir por (dos más x)) en el grado (x en el grado dos dividir por (uno más dos multiplicar por x))
- (x/(2+x))(x2/(1+2*x))
- x/2+xx2/1+2*x
- (x/(2+x))^(x²/(1+2*x))
- (x/(2+x)) en el grado (x en el grado 2/(1+2*x))
- (x/(2+x))^(x^2/(1+2x))
- (x/(2+x))(x2/(1+2x))
- x/2+xx2/1+2x
- x/2+x^x^2/1+2x
- (x dividir por (2+x))^(x^2 dividir por (1+2*x))
-
Expresiones semejantes
- (x/(2+x))^(x^2/(1-2*x))
- (x/(2-x))^(x^2/(1+2*x))
Límite de la función (x/(2+x))^(x^2/(1+2*x))
Solución
Ha introducido
[src]
2
x
-------
1 + 2*x
/ x \
lim |-----|
x->oo\2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
Limit((x/(2 + x))^(x^2/(1 + 2*x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}} = e^{\frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}} = e^{\frac{\frac{4}{3} + \frac{\left(- 2 u - 2\right)^{2}}{- 4 u - 3}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x^{2}}{2 x + 1}} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo