Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((- uno + nueve *x)/(dos + nueve *x))^(cuatro +x)
- (( menos 1 más 9 multiplicar por x) dividir por (2 más 9 multiplicar por x)) en el grado (4 más x)
- (( menos uno más nueve multiplicar por x) dividir por (dos más nueve multiplicar por x)) en el grado (cuatro más x)
- ((-1+9*x)/(2+9*x))(4+x)
- -1+9*x/2+9*x4+x
- ((-1+9x)/(2+9x))^(4+x)
- ((-1+9x)/(2+9x))(4+x)
- -1+9x/2+9x4+x
- -1+9x/2+9x^4+x
- ((-1+9*x) dividir por (2+9*x))^(4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+9*x)/(2+9*x))^(4+x)
- ((-1-9*x)/(2+9*x))^(4+x)
- ((-1+9*x)/(2-9*x))^(4+x)
- ((-1+9*x)/(2+9*x))^(4-x)
Límite de la función ((-1+9*x)/(2+9*x))^(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + x
/-1 + 9*x\
lim |--------|
x->oo\2 + 9*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
Limit(((-1 + 9*x)/(2 + 9*x))^(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x + 2\right) - 3}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{9 x + 2} + \frac{9 x + 2}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{9} - \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{9}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = e^{- \frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x + 2\right) - 3}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{9 x + 2} + \frac{9 x + 2}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x + 2}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{9 x + 2}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{9} - \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{9}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{3}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = e^{- \frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{32768}{161051}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{32768}{161051}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{32768}{161051}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = \frac{32768}{161051}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x - 1}{9 x + 2}\right)^{x + 4} = e^{- \frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→-oo