Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 2\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} \left(x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} - 4 x}{2 x + 4}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)