Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^2*(-cos(4*x)/3+cos(2*x)/3)
-
Límite de ((1+3*x^2)/(-2+3*x^2))^(5*x^2)
-
Límite de ((-7+2*x)/(-3+2*x))^(1+4*x)
-
Límite de (-3+2*x^2+5*x)/(6+3*x^2+11*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + tres *x^ dos)/(- dos + tres *x^ dos))^(cinco *x^ dos)
- ((1 más 3 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por ( menos 2 más 3 multiplicar por x al cuadrado )) en el grado (5 multiplicar por x al cuadrado )
- ((uno más tres multiplicar por x en el grado dos) dividir por ( menos dos más tres multiplicar por x en el grado dos)) en el grado (cinco multiplicar por x en el grado dos)
- ((1+3*x2)/(-2+3*x2))(5*x2)
- 1+3*x2/-2+3*x25*x2
- ((1+3*x²)/(-2+3*x²))^(5*x²)
- ((1+3*x en el grado 2)/(-2+3*x en el grado 2)) en el grado (5*x en el grado 2)
- ((1+3x^2)/(-2+3x^2))^(5x^2)
- ((1+3x2)/(-2+3x2))(5x2)
- 1+3x2/-2+3x25x2
- 1+3x^2/-2+3x^2^5x^2
- ((1+3*x^2) dividir por (-2+3*x^2))^(5*x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((1-3*x^2)/(-2+3*x^2))^(5*x^2)
- ((1+3*x^2)/(2+3*x^2))^(5*x^2)
- ((1+3*x^2)/(-2-3*x^2))^(5*x^2)
Límite de la función ((1+3*x^2)/(-2+3*x^2))^(5*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
5*x
/ 2\
| 1 + 3*x |
lim |---------|
x->oo| 2|
\-2 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
Limit(((1 + 3*x^2)/(-2 + 3*x^2))^(5*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x^{2} - 2\right) + 3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} - 2}{3 x^{2} - 2} + \frac{3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x^{2} - 2}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u + \frac{10}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = e^{5}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x^{2} - 2\right) + 3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} - 2}{3 x^{2} - 2} + \frac{3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x^{2} - 2}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u + \frac{10}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = e^{5}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = e^{5}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = e^{5}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = 1024$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x^{2} + 1}{3 x^{2} - 2}\right)^{5 x^{2}} = e^{5}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico