Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 6^+}\left(x^{2} - 4 x - 12\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 6^+}\left(x^{2} - 14 x + 48\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{- 4 x + \left(x^{2} - 12\right)}{- 14 x + \left(x^{2} + 48\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} - 14 x + 48}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 4 x - 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 14 x + 48\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{2 x - 4}{2 x - 14}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{2 x - 4}{2 x - 14}\right)$$
=
$$-4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)