Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x e^{2 x} + 6 e^{2 x} + 2\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x} \left(6 - 3 x\right) + 2}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(2 - x\right) e^{2 x} + 2}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 x e^{2 x} + 6 e^{2 x} + 2\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 6 x e^{2 x} + 9 e^{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 6 x e^{2 x} + 9 e^{2 x}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)