Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de ((-7+2*x^2+21*x)/(9+2*x^2+18*x))^(1+2*x)
-
Límite de (-4-7*x+2*x^2)/(4-13*x+3*x^2)
-
Límite de ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((dos + dos *x^ dos)/(uno + dos *x^ dos))^(x^ dos)
- ((2 más 2 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (1 más 2 multiplicar por x al cuadrado )) en el grado (x al cuadrado )
- ((dos más dos multiplicar por x en el grado dos) dividir por (uno más dos multiplicar por x en el grado dos)) en el grado (x en el grado dos)
- ((2+2*x2)/(1+2*x2))(x2)
- 2+2*x2/1+2*x2x2
- ((2+2*x²)/(1+2*x²))^(x²)
- ((2+2*x en el grado 2)/(1+2*x en el grado 2)) en el grado (x en el grado 2)
- ((2+2x^2)/(1+2x^2))^(x^2)
- ((2+2x2)/(1+2x2))(x2)
- 2+2x2/1+2x2x2
- 2+2x^2/1+2x^2^x^2
- ((2+2*x^2) dividir por (1+2*x^2))^(x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((2-2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
- ((2+2*x^2)/(1-2*x^2))^(x^2)
Límite de la función ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\x /
/ 2\
|2 + 2*x |
lim |--------|
x->oo| 2|
\1 + 2*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
Limit(((2 + 2*x^2)/(1 + 2*x^2))^(x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x^{2} + 1\right) + 1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2} + 1} + \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x^{2} + 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x^{2} + 1\right) + 1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2} + 1} + \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x^{2} + 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{u}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x^{2} + 2}{2 x^{2} + 1}\right)^{x^{2}} = e^{\frac{1}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico