Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +e^x)^(-x)*(- uno +e^x)
- ( menos 1 más e en el grado x) en el grado ( menos x) multiplicar por ( menos 1 más e en el grado x)
- ( menos uno más e en el grado x) en el grado ( menos x) multiplicar por ( menos uno más e en el grado x)
- (-1+ex)(-x)*(-1+ex)
- -1+ex-x*-1+ex
- (-1+e^x)^(-x)(-1+e^x)
- (-1+ex)(-x)(-1+ex)
- -1+ex-x-1+ex
- -1+e^x^-x-1+e^x
-
Expresiones semejantes
- (-1-e^x)^(-x)*(-1+e^x)
- (1+e^x)^(-x)*(-1+e^x)
- (-1+e^x)^(-x)*(1+e^x)
- (-1+e^x)^(-x)*(-1-e^x)
- (-1+e^x)^(x)*(-1+e^x)
Límite de la función (-1+e^x)^(-x)*(-1+e^x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x \
|/ x\ / x\|
lim \\-1 + E / *\-1 + E //
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right)$$
Limit((-1 + E^x)^(-x)*(-1 + E^x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(e^{x} - 1\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{- x} e^{x}}{\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} + \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{- x} e^{x}}{\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} + \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(e^{x} - 1\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{- x} e^{x}}{\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} + \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{- x} e^{x}}{\frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} + \log{\left(e^{x} - 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(e^{x} - 1\right) \left(e^{x} - 1\right)^{- x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo