Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + cuatro *x)/(- cinco + cuatro *x))^(uno / tres +x/ tres)
- ((3 más 4 multiplicar por x) dividir por ( menos 5 más 4 multiplicar por x)) en el grado (1 dividir por 3 más x dividir por 3)
- ((tres más cuatro multiplicar por x) dividir por ( menos cinco más cuatro multiplicar por x)) en el grado (uno dividir por tres más x dividir por tres)
- ((3+4*x)/(-5+4*x))(1/3+x/3)
- 3+4*x/-5+4*x1/3+x/3
- ((3+4x)/(-5+4x))^(1/3+x/3)
- ((3+4x)/(-5+4x))(1/3+x/3)
- 3+4x/-5+4x1/3+x/3
- 3+4x/-5+4x^1/3+x/3
- ((3+4*x) dividir por (-5+4*x))^(1 dividir por 3+x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((3+4*x)/(5+4*x))^(1/3+x/3)
- ((3+4*x)/(-5+4*x))^(1/3-x/3)
- ((3-4*x)/(-5+4*x))^(1/3+x/3)
- ((3+4*x)/(-5-4*x))^(1/3+x/3)
Límite de la función ((3+4*x)/(-5+4*x))^(1/3+x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
1 x
- + -
3 3
/3 + 4*x \
lim |--------|
x->oo\-5 + 4*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
Limit(((3 + 4*x)/(-5 + 4*x))^(1/3 + x/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x - 5\right) + 8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x - 5}{4 x - 5} + \frac{8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x - 5}{8}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3} + \frac{3}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x - 5\right) + 8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x - 5}{4 x - 5} + \frac{8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x - 5}{8}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{8}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3} + \frac{3}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{-3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{-3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \left(-7\right)^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \left(-7\right)^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{-3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{-3} \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \left(-7\right)^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \left(-7\right)^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 3}{4 x - 5}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo