Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Límite de ((2+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- tres *n^ cinco *(tres +n)/(uno +n)^ cinco
- 3 multiplicar por n en el grado 5 multiplicar por (3 más n) dividir por (1 más n) en el grado 5
- tres multiplicar por n en el grado cinco multiplicar por (tres más n) dividir por (uno más n) en el grado cinco
- 3*n5*(3+n)/(1+n)5
- 3*n5*3+n/1+n5
- 3*n⁵*(3+n)/(1+n)⁵
- 3n^5(3+n)/(1+n)^5
- 3n5(3+n)/(1+n)5
- 3n53+n/1+n5
- 3n^53+n/1+n^5
- 3*n^5*(3+n) dividir por (1+n)^5
-
Expresiones semejantes
- 3*n^5*(3-n)/(1+n)^5
- 3*n^5*(3+n)/(1-n)^5
Límite de la función 3*n^5*(3+n)/(1+n)^5
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5 \
|3*n *(3 + n)|
lim |------------|
n->oo| 5 |
\ (1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
Limit(((3*n^5)*(3 + n))/(1 + n)^5, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^6:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{9}{n}}{\frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{10}{n^{4}} + \frac{5}{n^{5}} + \frac{1}{n^{6}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{9}{n}}{\frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{10}{n^{4}} + \frac{5}{n^{5}} + \frac{1}{n^{6}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u + 3}{u^{6} + 5 u^{5} + 10 u^{4} + 10 u^{3} + 5 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 9 + 3}{0^{6} + 5 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0^{5} + 10 \cdot 0^{3} + 10 \cdot 0^{4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^6:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{9}{n}}{\frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{10}{n^{4}} + \frac{5}{n^{5}} + \frac{1}{n^{6}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{9}{n}}{\frac{1}{n} + \frac{5}{n^{2}} + \frac{10}{n^{3}} + \frac{10}{n^{4}} + \frac{5}{n^{5}} + \frac{1}{n^{6}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u + 3}{u^{6} + 5 u^{5} + 10 u^{4} + 10 u^{3} + 5 u^{2} + u}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 9 + 3}{0^{6} + 5 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0^{5} + 10 \cdot 0^{3} + 10 \cdot 0^{4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{5} \left(n + 3\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{18 n^{5} + 45 n^{4}}{5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{18 n^{5} + 45 n^{4}}{5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n^{5} \left(n + 3\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{18 n^{5} + 45 n^{4}}{5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{18 n^{5} + 45 n^{4}}{5 n^{4} + 20 n^{3} + 30 n^{2} + 20 n + 5}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = \frac{3}{8}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3 n^{5} \left(n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^{5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo