Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- (x/(dos +x))^(x/ tres)
- (x dividir por (2 más x)) en el grado (x dividir por 3)
- (x dividir por (dos más x)) en el grado (x dividir por tres)
- (x/(2+x))(x/3)
- x/2+xx/3
- x/2+x^x/3
- (x dividir por (2+x))^(x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- (x/(2-x))^(x/3)
Límite de la función (x/(2+x))^(x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
3
/ x \
lim |-----|
x->oo\2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
Limit((x/(2 + x))^(x/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3} - \frac{2}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3} - \frac{2}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{x + 2}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico