Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(-2-5*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(1+2*x)-sqrt(6+x))/(-15-7*x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x)/(dos +x))^(tres +x)
- ((1 más x) dividir por (2 más x)) en el grado (3 más x)
- ((uno más x) dividir por (dos más x)) en el grado (tres más x)
- ((1+x)/(2+x))(3+x)
- 1+x/2+x3+x
- 1+x/2+x^3+x
- ((1+x) dividir por (2+x))^(3+x)
-
Expresiones semejantes
- ((1-x)/(2+x))^(3+x)
- ((1+x)/(2+x))^(3-x)
- ((1+x)/(2-x))^(3+x)
Límite de la función ((1+x)/(2+x))^(3+x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + x
/1 + x\
lim |-----|
x->oo\2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
Limit(((1 + x)/(2 + x))^(3 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 - u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 - u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{x + 3} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico