Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +e^x)^ cuatro /x^ cuatro
- ( menos 1 más e en el grado x) en el grado 4 dividir por x en el grado 4
- ( menos uno más e en el grado x) en el grado cuatro dividir por x en el grado cuatro
- (-1+ex)4/x4
- -1+ex4/x4
- (-1+e^x)⁴/x⁴
- -1+e^x^4/x^4
- (-1+e^x)^4 dividir por x^4
-
Expresiones semejantes
- (1+e^x)^4/x^4
- (-1-e^x)^4/x^4
Límite de la función (-1+e^x)^4/x^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4\
|/ x\ |
|\-1 + E / |
lim |----------|
x->0+| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
Limit((-1 + E^x)^4/x^4, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{4 x} - 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} - 4 e^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{4} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{4 x} - 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} - 4 e^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 12 e^{2 x} - 4 e^{x}}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 12 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 e^{4 x} - 36 e^{3 x} + 24 e^{2 x} - 4 e^{x}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(16 e^{4 x} - 36 e^{3 x} + 24 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{64 e^{4 x} - 108 e^{3 x} + 48 e^{2 x} - 4 e^{x}}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(64 e^{4 x} - 108 e^{3 x} + 48 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{32 e^{4 x}}{3} - \frac{27 e^{3 x}}{2} + 4 e^{2 x} - \frac{e^{x}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{32 e^{4 x}}{3} - \frac{27 e^{3 x}}{2} + 4 e^{2 x} - \frac{e^{x}}{6}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{4 x} - 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} - 4 e^{x} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{4} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{4 x} - 4 e^{3 x} + 6 e^{2 x} - 4 e^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 12 e^{2 x} - 4 e^{x}}{4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 12 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)}{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{16 e^{4 x} - 36 e^{3 x} + 24 e^{2 x} - 4 e^{x}}{12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(16 e^{4 x} - 36 e^{3 x} + 24 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)}{\frac{d}{d x} 12 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{64 e^{4 x} - 108 e^{3 x} + 48 e^{2 x} - 4 e^{x}}{24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(64 e^{4 x} - 108 e^{3 x} + 48 e^{2 x} - 4 e^{x}\right)}{\frac{d}{d x} 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{32 e^{4 x}}{3} - \frac{27 e^{3 x}}{2} + 4 e^{2 x} - \frac{e^{x}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{32 e^{4 x}}{3} - \frac{27 e^{3 x}}{2} + 4 e^{2 x} - \frac{e^{x}}{6}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = - 4 e^{3} - 4 e + 1 + 6 e^{2} + e^{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = - 4 e^{3} - 4 e + 1 + 6 e^{2} + e^{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = - 4 e^{3} - 4 e + 1 + 6 e^{2} + e^{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = - 4 e^{3} - 4 e + 1 + 6 e^{2} + e^{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 4\
|/ x\ |
|\-1 + E / |
lim |----------|
x->0+| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ 4\
|/ x\ |
|\-1 + E / |
lim |----------|
x->0-| 4 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(e^{x} - 1\right)^{4}}{x^{4}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1