Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x/ tres)^(uno /x)
- (1 más x dividir por 3) en el grado (1 dividir por x)
- (uno más x dividir por tres) en el grado (uno dividir por x)
- (1+x/3)(1/x)
- 1+x/31/x
- 1+x/3^1/x
- (1+x dividir por 3)^(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- (1-x/3)^(1/x)
Límite de la función (1+x/3)^(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
_______
/ x
lim x / 1 + -
x->oo\/ 3
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
Limit((1 + x/3)^(1/x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{3 \frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
1
u = -----
x*1/3entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{3 \frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{3}}$$
=
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\sqrt[3]{\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{3}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}} = 1$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
_______
/ x
lim x / 1 + -
x->0+\/ 3
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
1/3 e
$$e^{\frac{1}{3}}$$
= 1.39561242508609
_______
/ x
lim x / 1 + -
x->0-\/ 3
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{3} + 1\right)^{\frac{1}{x}}$$
1/3 e
$$e^{\frac{1}{3}}$$
= 1.39561242508609
= 1.39561242508609
Gráfico