Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Límite de ((2+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- (dos +(uno +n)^ dos + dos *n)/(n^ dos + dos *n)
- (2 más (1 más n) al cuadrado más 2 multiplicar por n) dividir por (n al cuadrado más 2 multiplicar por n)
- (dos más (uno más n) en el grado dos más dos multiplicar por n) dividir por (n en el grado dos más dos multiplicar por n)
- (2+(1+n)2+2*n)/(n2+2*n)
- 2+1+n2+2*n/n2+2*n
- (2+(1+n)²+2*n)/(n²+2*n)
- (2+(1+n) en el grado 2+2*n)/(n en el grado 2+2*n)
- (2+(1+n)^2+2n)/(n^2+2n)
- (2+(1+n)2+2n)/(n2+2n)
- 2+1+n2+2n/n2+2n
- 2+1+n^2+2n/n^2+2n
- (2+(1+n)^2+2*n) dividir por (n^2+2*n)
-
Expresiones semejantes
- (2-(1+n)^2+2*n)/(n^2+2*n)
- (2+(1+n)^2+2*n)/(n^2-2*n)
- (2+(1-n)^2+2*n)/(n^2+2*n)
- (2+(1+n)^2-2*n)/(n^2+2*n)
Límite de la función (2+(1+n)^2+2*n)/(n^2+2*n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|2 + (1 + n) + 2*n|
lim |------------------|
n->oo| 2 |
\ n + 2*n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right)$$
Limit((2 + (1 + n)^2 + 2*n)/(n^2 + 2*n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1}{0 \cdot 2 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 1}{0 \cdot 2 + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 4 n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(n + 1\right)^{2} + 2}{n \left(n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 4 n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 4}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 4}{2 n + 2}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 4 n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 2 n\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(n + 1\right)^{2} + 2}{n \left(n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 4 n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 2 n\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 4}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 4}{2 n + 2}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = \frac{8}{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{2 n + \left(\left(n + 1\right)^{2} + 2\right)}{n^{2} + 2 n}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico