Sr Examen

Otras calculadoras:

(1-cos(x))/(2*x^2)
Límite de la función/ 2*x^2/ cos(x)/ (1-cos(x))/(2*x^2)

Límite de la función (1-cos(x))/(2*x^2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+|      2   |
     \   2*x    /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) 
Limit((1 - cos(x))/((2*x^2)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right)
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2

cambiamos
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)=lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right)
=
(lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x))2\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}
lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)2u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)2\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
(lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x))2=(lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)2)2\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2} = \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}
=
(12)2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
=
14\frac{1}{4}

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)=14\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{4}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(2x2)=0\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(1−cos⁡(x))ddx2x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)4x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4 x}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡(x)4x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4 x}\right)
=
14\frac{1}{4}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.000.50
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)2x2)=14\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{4}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)=14\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{4}
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)2x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(1−cos⁡(x)2x2)=12−cos⁡(1)2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−cos⁡(x)2x2)=12−cos⁡(1)2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{2}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x)2x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/4
14\frac{1}{4}
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+|      2   |
     \   2*x    /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)2x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) 
1/4
14\frac{1}{4} 
= 0.25
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0-|      2   |
     \   2*x    /
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)2x2)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{2 x^{2}}\right) 
1/4
14\frac{1}{4} 
= 0.25
= 0.25
Respuesta numérica [src] 
0.25
0.25
Gráfico
Límite de la función (1-cos(x))/(2*x^2)
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