Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (-2-7*x+4*x^2)/(-2-9*x+5*x^2)
-
Límite de (2+3*x^2+5*x)/(4+3*x^2+8*x)
-
Límite de ((2+3*x)/(-1+3*x))^(-1+4*x)
-
Expresiones idénticas
- ((dos + tres *x)/(- uno + tres *x))^(- uno + cuatro *x)
- ((2 más 3 multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más 3 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 más 4 multiplicar por x)
- ((dos más tres multiplicar por x) dividir por ( menos uno más tres multiplicar por x)) en el grado ( menos uno más cuatro multiplicar por x)
- ((2+3*x)/(-1+3*x))(-1+4*x)
- 2+3*x/-1+3*x-1+4*x
- ((2+3x)/(-1+3x))^(-1+4x)
- ((2+3x)/(-1+3x))(-1+4x)
- 2+3x/-1+3x-1+4x
- 2+3x/-1+3x^-1+4x
- ((2+3*x) dividir por (-1+3*x))^(-1+4*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+3*x)/(-1-3*x))^(-1+4*x)
- ((2+3*x)/(1+3*x))^(-1+4*x)
- ((2-3*x)/(-1+3*x))^(-1+4*x)
- ((2+3*x)/(-1+3*x))^(-1-4*x)
- ((2+3*x)/(-1+3*x))^(1+4*x)
Límite de la función ((2+3*x)/(-1+3*x))^(-1+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + 4*x
/2 + 3*x \
lim |--------|
x->oo\-1 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
Limit(((2 + 3*x)/(-1 + 3*x))^(-1 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x - 1\right) + 3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x - 1} + \frac{3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x - 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = e^{4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x - 1\right) + 3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x - 1} + \frac{3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x - 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u + \frac{1}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = e^{4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = e^{4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = \frac{125}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = \frac{125}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = e^{4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = \frac{125}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = \frac{125}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 2}{3 x - 1}\right)^{4 x - 1} = e^{4}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico