Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + tres *x)/(siete + tres *x))^(uno + dos *x)
- ((4 más 3 multiplicar por x) dividir por (7 más 3 multiplicar por x)) en el grado (1 más 2 multiplicar por x)
- ((cuatro más tres multiplicar por x) dividir por (siete más tres multiplicar por x)) en el grado (uno más dos multiplicar por x)
- ((4+3*x)/(7+3*x))(1+2*x)
- 4+3*x/7+3*x1+2*x
- ((4+3x)/(7+3x))^(1+2x)
- ((4+3x)/(7+3x))(1+2x)
- 4+3x/7+3x1+2x
- 4+3x/7+3x^1+2x
- ((4+3*x) dividir por (7+3*x))^(1+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((4+3*x)/(7-3*x))^(1+2*x)
- ((4+3*x)/(7+3*x))^(1-2*x)
- ((4-3*x)/(7+3*x))^(1+2*x)
Límite de la función ((4+3*x)/(7+3*x))^(1+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 2*x
/4 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\7 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
Limit(((4 + 3*x)/(7 + 3*x))^(1 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 7\right) - 3}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 7} + \frac{3 x + 7}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 7}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{11}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 7\right) - 3}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{3 x + 7} + \frac{3 x + 7}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 7}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - \frac{11}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{1000}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{1000}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{4}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{1000}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = \frac{343}{1000}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 4}{3 x + 7}\right)^{2 x + 1} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo