Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + seis *x)/(trece + seis *x))^(tres *x)
- ((1 más 6 multiplicar por x) dividir por (13 más 6 multiplicar por x)) en el grado (3 multiplicar por x)
- ((uno más seis multiplicar por x) dividir por (trece más seis multiplicar por x)) en el grado (tres multiplicar por x)
- ((1+6*x)/(13+6*x))(3*x)
- 1+6*x/13+6*x3*x
- ((1+6x)/(13+6x))^(3x)
- ((1+6x)/(13+6x))(3x)
- 1+6x/13+6x3x
- 1+6x/13+6x^3x
- ((1+6*x) dividir por (13+6*x))^(3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+6*x)/(13-6*x))^(3*x)
- ((1-6*x)/(13+6*x))^(3*x)
Límite de la función ((1+6*x)/(13+6*x))^(3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3*x
/1 + 6*x \
lim |--------|
x->oo\13 + 6*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
Limit(((1 + 6*x)/(13 + 6*x))^(3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x + 13\right) - 12}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{12}{6 x + 13} + \frac{6 x + 13}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{12}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x + 13}{-12}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{12}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - \frac{13}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x + 13\right) - 12}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{12}{6 x + 13} + \frac{6 x + 13}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{12}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x + 13}{-12}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{12}{6 x + 13}\right)^{3 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - \frac{13}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{13}{2}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = \frac{343}{6859}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = \frac{343}{6859}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = \frac{343}{6859}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = \frac{343}{6859}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x + 1}{6 x + 13}\right)^{3 x} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo