Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{2 x + 1}{2 x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right) \log{\left(\frac{2 x + 1}{2 x} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right) \log{\left(\frac{2 x + 1}{2 x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{2 x + 1}{2 x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 x \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)}^{2} - 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 x \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)}^{2} - 4 x \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)}^{2} - 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(2 + \frac{1}{x} \right)} + \log{\left(2 \right)}^{2}\right)\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)