Sr Examen

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(-1)^(n-1)*n/(2n-1)(2n+1)

Suma de la serie (-1)^(n-1)*n/(2n-1)(2n+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                       
____                       
\   `                      
 \        n - 1            
  \   (-1)     *n          
  /   -----------*(2*n + 1)
 /      2*n - 1            
/___,                      
n = 1                      
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{n - 1} n}{2 n - 1} \left(2 n + 1\right)$$
Sum((((-1)^(n - 1)*n)/(2*n - 1))*(2*n + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(-1\right)^{n - 1} n}{2 n - 1} \left(2 n + 1\right)$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\left(-1\right)^{n - 1} n \left(2 n + 1\right)}{2 n - 1}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(2 n + 1\right)^{2} \left|{\frac{1}{2 n - 1}}\right|}{\left(n + 1\right) \left(2 n + 3\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                        
____                        
\   `                       
 \          -1 + n          
  \   n*(-1)      *(1 + 2*n)
  /   ----------------------
 /           -1 + 2*n       
/___,                       
n = 1                       
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{n - 1} n \left(2 n + 1\right)}{2 n - 1}$$
Sum(n*(-1)^(-1 + n)*(1 + 2*n)/(-1 + 2*n), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie (-1)^(n-1)*n/(2n-1)(2n+1)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie