Se da una serie:
$$\left(\frac{x + 3}{2}\right)^{n} \frac{n}{n \log{\left(x \right)}^{2}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}$$
y
$$x_{0} = - \frac{3}{2}$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = \frac{1}{2}$$
entonces
$$R = 2 \left(- \frac{3}{2} + \lim_{n \to \infty} 1\right)$$
Tomamos como el límitehallamos
$$R^{1} = -1$$
$$R = -1$$