Sr Examen

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Suma de la serie ((2n+1)/(3n-2))^n2



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo             
____             
\   `            
 \             n2
  \   /2*n + 1\  
  /   |-------|  
 /    \3*n - 2/  
/___,            
n = 2            
n=2(2n+13n2)n2\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{2 n + 1}{3 n - 2}\right)^{n_{2}}
Sum(((2*n + 1)/(3*n - 2))^n2, (n, 2, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(2n+13n2)n2\left(\frac{2 n + 1}{3 n - 2}\right)^{n_{2}}
Es la serie del tipo
an(cxx0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+limnanan+1cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(2n+13n2)n2a_{n} = \left(\frac{2 n + 1}{3 n - 2}\right)^{n_{2}}
y
x0=0x_{0} = 0
,
d=0d = 0
,
c=1c = 1
entonces
1=limn((2n+33n+1)re(n2)(2n+13n2)n2)1 = \lim_{n \to \infty}\left(\left(\frac{2 n + 3}{3 n + 1}\right)^{- \operatorname{re}{\left(n_{2}\right)}} \left|{\left(\frac{2 n + 1}{3 n - 2}\right)^{n_{2}}}\right|\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R0=2n23n2elog(2)re(n2)+log(3)re(n2)sign((23)n2)R^{0} = 2^{n_{2}} \cdot 3^{- n_{2}} e^{- \log{\left(2 \right)} \operatorname{re}{\left(n_{2}\right)} + \log{\left(3 \right)} \operatorname{re}{\left(n_{2}\right)}} \operatorname{sign}{\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n_{2}} \right)}
R0=2n23n2elog(2)re(n2)+log(3)re(n2)sign((23)n2)R^{0} = 2^{n_{2}} \cdot 3^{- n_{2}} e^{- \log{\left(2 \right)} \operatorname{re}{\left(n_{2}\right)} + \log{\left(3 \right)} \operatorname{re}{\left(n_{2}\right)}} \operatorname{sign}{\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{n_{2}} \right)}

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie