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Suma de la serie/ (sinlnn)/n^a

Suma de la serie (sinlnn)/n^a


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \    sin(log(n))
  \   -----------
  /         a    
 /         n     
/___,            
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}}{n^{a}}$$ 
Sum(sin(log(n))/n^a, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}}{n^{a}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = n^{- a} \sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(n^{- \operatorname{re}{\left(a\right)}} \left(n + 1\right)^{\operatorname{re}{\left(a\right)}} \left|{\frac{\sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}}{\sin{\left(\log{\left(n + 1 \right)} \right)}}}\right|\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Respuesta [src] 
  oo                 
 ___                 
 \  `                
  \    -a            
  /   n  *sin(log(n))
 /__,                
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{- a} \sin{\left(\log{\left(n \right)} \right)}$$ 
Sum(n^(-a)*sin(log(n)), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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