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Suma de la serie/ n*2^n*x^n

Suma de la serie n*2^n*x^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo         
 ___         
 \  `        
  \      n  n
  /   n*2 *x 
 /__,        
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} 2^{n} n$$ 
Sum((n*2^n)*x^n, (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$x^{n} 2^{n} n$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 2^{n} n$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{n} 2^{- n - 1} n}{n + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = \frac{1}{2}$$
$$R = 0.5$$
Respuesta [src] 
/    2*x                     
| ----------    for 2*|x| < 1
|          2                 
| (1 - 2*x)                  
|                            
|  oo                        
< ___                        
| \  `                       
|  \      n  n               
|  /   n*2 *x     otherwise  
| /__,                       
|n = 1                       
\
$$\begin{cases} \frac{2 x}{\left(1 - 2 x\right)^{2}} & \text{for}\: 2 \left|{x}\right| < 1 \\\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} n x^{n} & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((2*x/(1 - 2*x)^2, 2*|x| < 1), (Sum(n*2^n*x^n, (n, 1, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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