Sr Examen
Х-y=4; 2x+y=2
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x - y = 4$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = y + 4$$
$$x = y + 4$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x + y = 2$$
Obtenemos:
$$y + 2 \left(y + 4\right) = 2$$
$$3 y + 8 = 2$$
Pasamos el sumando libre 8 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$3 y = -8 + 2$$
$$3 y = -6$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{3 y}{3} = - \frac{6}{3}$$
$$y = -2$$
Como
$$x = y + 4$$
entonces
$$x = -2 + 4$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = -2$$
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x - y = 4$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = y + 4$$
$$x = y + 4$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x + y = 2$$
Obtenemos:
$$y + 2 \left(y + 4\right) = 2$$
$$3 y + 8 = 2$$
Pasamos el sumando libre 8 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$3 y = -8 + 2$$
$$3 y = -6$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{3 y}{3} = - \frac{6}{3}$$
$$y = -2$$
Como
$$x = y + 4$$
entonces
$$x = -2 + 4$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = -2$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = -2$$
=
$$-2$$
=
-2
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 4\\2 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 1 - - 2 & 2 - 2 \cdot 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 4\\0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & -1 - \frac{\left(-1\right) 3}{3} & 4 - - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$3 x_{2} + 6 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 4\\2 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & 1 - - 2 & 2 - 2 \cdot 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 4\\0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & -1 - \frac{\left(-1\right) 3}{3} & 4 - - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 3 & -6\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$3 x_{2} + 6 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Regla de Cramer
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 2$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 4\\2 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{3} = -2$$
$$2 x + y = 2$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 4$$
$$2 x + y = 2$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\2 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 2$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 4\\2 & 2\end{matrix}\right] \right)}}{3} = -2$$