Sr Examen
x-y=7; x+y=13
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x - y = 7$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = y + 7$$
$$x = y + 7$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x + y = 13$$
Obtenemos:
$$y + \left(y + 7\right) = 13$$
$$2 y + 7 = 13$$
Pasamos el sumando libre 7 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$2 y = -7 + 13$$
$$2 y = 6$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{2 y}{2} = \frac{6}{2}$$
$$y = 3$$
Como
$$x = y + 7$$
entonces
$$x = 3 + 7$$
$$x = 10$$
Respuesta:
$$x = 10$$
$$y = 3$$
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x - y = 7$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = y + 7$$
$$x = y + 7$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$x + y = 13$$
Obtenemos:
$$y + \left(y + 7\right) = 13$$
$$2 y + 7 = 13$$
Pasamos el sumando libre 7 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$2 y = -7 + 13$$
$$2 y = 6$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{2 y}{2} = \frac{6}{2}$$
$$y = 3$$
Como
$$x = y + 7$$
entonces
$$x = 3 + 7$$
$$x = 10$$
Respuesta:
$$x = 10$$
$$y = 3$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 10$$
=
$$10$$
=
$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
=
$$10$$
=
10
$$y_{1} = 3$$
=
$$3$$
=
3
Regla de Cramer
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & -1\\13 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 10$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 7\\1 & 13\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 3$$
$$x + y = 13$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} - x_{2}\\x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & -1\\1 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}7 & -1\\13 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 10$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 7\\1 & 13\end{matrix}\right] \right)}}{2} = 3$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\1 & 1 & 13\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & 1 - -1 & \left(-1\right) 7 + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & -1 - \frac{\left(-1\right) 2}{2} & 7 - \frac{\left(-1\right) 6}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\\0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 10 = 0$$
$$2 x_{2} - 6 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 3$$
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x - y = 7$$
$$x + y = 13$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\1 & 1 & 13\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & 1 - -1 & \left(-1\right) 7 + 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 7\\0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & -1 - \frac{\left(-1\right) 2}{2} & 7 - \frac{\left(-1\right) 6}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 10\\0 & 2 & 6\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 10 = 0$$
$$2 x_{2} - 6 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 3$$