Sr Examen
a+b=1; a=b
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$a + b = 1$$
$$a = b$$
De ecuación 1 expresamos a
$$a + b = 1$$
Pasamos el sumando con la variable b de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$a = 1 - b$$
$$a = 1 - b$$
Ponemos el resultado a en ecuación 2
$$a = b$$
Obtenemos:
$$1 - b = b$$
$$1 - b = b$$
Pasamos el sumando con la variable b del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$- b + \left(1 - b\right) = 0$$
$$1 - 2 b = 0$$
Pasamos el sumando libre 1 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 2 b = -1$$
$$- 2 b = -1$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de b
$$\frac{\left(-1\right) 2 b}{-2} = - \frac{1}{-2}$$
$$b = \frac{1}{2}$$
Como
$$a = 1 - b$$
entonces
$$a = 1 - \frac{1}{2}$$
$$a = \frac{1}{2}$$
Respuesta:
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = \frac{1}{2}$$
$$a + b = 1$$
$$a = b$$
De ecuación 1 expresamos a
$$a + b = 1$$
Pasamos el sumando con la variable b de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$a = 1 - b$$
$$a = 1 - b$$
Ponemos el resultado a en ecuación 2
$$a = b$$
Obtenemos:
$$1 - b = b$$
$$1 - b = b$$
Pasamos el sumando con la variable b del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$- b + \left(1 - b\right) = 0$$
$$1 - 2 b = 0$$
Pasamos el sumando libre 1 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 2 b = -1$$
$$- 2 b = -1$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de b
$$\frac{\left(-1\right) 2 b}{-2} = - \frac{1}{-2}$$
$$b = \frac{1}{2}$$
Como
$$a = 1 - b$$
entonces
$$a = 1 - \frac{1}{2}$$
$$a = \frac{1}{2}$$
Respuesta:
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = \frac{1}{2}$$
Respuesta rápida
$$a_{1} = \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
=
$$b_{1} = \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
=
=
$$\frac{1}{2}$$
=
0.5
$$b_{1} = \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
=
0.5
Regla de Cramer
$$a + b = 1$$
$$a = b$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$a + b = 1$$
$$a - b = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\0 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{1}{2}$$
$$a = b$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$a + b = 1$$
$$a - b = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\0 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{1}{2}$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$a + b = 1$$
$$a = b$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$a + b = 1$$
$$a - b = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 1 - - \frac{-1}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - \frac{1}{2} = 0$$
$$1 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$a + b = 1$$
$$a = b$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$a + b = 1$$
$$a - b = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & -1 - 1 & -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{2} & 1 - - -1 & 1 - - \frac{-1}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & -2 & -1\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - \frac{1}{2} = 0$$
$$1 - 2 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$