Derivada de xln((1+x^2)^1\2)-(1+x)^1\2

1. diferenciamos $x \log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \sqrt{x + 1}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sqrt{x^{2} + 1}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} + 1}$:

         1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de: $2 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{x}{x^{2} + 1}$

      Como resultado de: $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = x + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

   Como resultado de: $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$