Derivada de xln((1+x^2)^1\2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x^{2} + 1}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} + 1}$:

      1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Como resultado de: $2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{x}{x^{2} + 1}$

   Como resultado de: $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \log{\left(\sqrt{x^{2} + 1} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}}{x^{2} + 1}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} + \frac{\left(x^{2} + 1\right) \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}}{x^{2} + 1}$