Derivada de y=(7x-5)(2x^3+4)exp(-x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(7 x - 5\right) \left(2 x^{3} + 4\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 7 x - 5$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $7 x - 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de: $7$

      $g{\left(x \right)} = 2 x^{3} + 4$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $2 x^{3} + 4$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $6 x^{2}$

         Como resultado de: $6 x^{2}$

      Como resultado de: $14 x^{3} + 6 x^{2} \left(7 x - 5\right) + 28$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- \left(7 x - 5\right) \left(2 x^{3} + 4\right) e^{x} + \left(14 x^{3} + 6 x^{2} \left(7 x - 5\right) + 28\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 14 x^{4} + 66 x^{3} - 30 x^{2} - 28 x + 48\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(- 14 x^{4} + 66 x^{3} - 30 x^{2} - 28 x + 48\right) e^{- x}$