Derivada de y=(x^2*(1-x)*sin(3x))/(x-2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} \left(1 - x\right) \sin{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x - 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      $g{\left(x \right)} = 1 - x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de: $-1$

      $h{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de: $3 x^{2} \left(1 - x\right) \cos{\left(3 x \right)} - x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \left(1 - x\right) \sin{\left(3 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x - 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-2$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x^{2} \left(1 - x\right) \sin{\left(3 x \right)} + \left(x - 2\right) \left(3 x^{2} \left(1 - x\right) \cos{\left(3 x \right)} - x^{2} \sin{\left(3 x \right)} + 2 x \left(1 - x\right) \sin{\left(3 x \right)}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \left(x \left(x - 1\right) \sin{\left(3 x \right)} + \left(x - 2\right) \left(- 3 x \left(x - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} - x \sin{\left(3 x \right)} + \left(2 - 2 x\right) \sin{\left(3 x \right)}\right)\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x \left(x - 1\right) \sin{\left(3 x \right)} + \left(x - 2\right) \left(- 3 x \left(x - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} - x \sin{\left(3 x \right)} + \left(2 - 2 x\right) \sin{\left(3 x \right)}\right)\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$